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  1. 2009.04.21 l'Hôpital's rule
  2. 2009.03.28 Heron의 공식 (1)
2009.04.21 03:37

l'Hôpital's rule

요즘 수학이 너무 달려서 purcell의 책으로 미적분학을 공부하고 있다.
mean value theorem과 cauchy의 정리를 보고 있는데 너무 오랜 세월이 흐르자 거의 모든 것을 까먹고 살았다는 것이 점차 확실해지고 있다. 더군다나 인정하기는 싫어도 머리는 조금씩 나빠지고 있다.

아무튼 며칠동안 e 와 ln 에서 헤매다가 네이피어가 왜 로그라는 이름을 붙였는지를 조금 알게 되었고 나중에 시간이 되면 아주 이상한 인물이었던 네이피어의 이야기를 정리해 보고 싶다는 생각을 하게 되었다.

한달동안 미적분학책을 반정도 리뷰하고 문제는 많이 못풀어 보았으나 머릿속의 컨텐츠는 조금씩 정리가 되어가는 방향이다.   아무튼 학교와는 아무런 상관이 없는 현재 나는 나의 선생님으로 스스로 가르치고 배운다. (늙은 개는 가르칠 수 없다는 말이 있는데  만약 내가 개라면 왜 가르칠 수 없는지 잘 생각해 보아야  할 것이다.)

책의 주제중에 l'Hôpital's rule 이라고 부르는 공식이 있었는데 예전에는 cauchy의 증명으로 납득을 했건만 정작 조금 더 직관적인 예들을 보고 싶었다. 과연 구글의 힘은 위대해서 마음에 드는 설명을 발견했다.  학생으로서 정말 기뻤다.  예전에 머리가 지금보다 빠르게 돌아가긴 했지만 인터넷이 없던 시절에는 즐길 수 없던 즐거움이다.


http://www.vias.org/calculus/05_limits_g_approx_02_03.html 에 나온 설명이 참 마음에 들었다.


L'HOSPITAL'S RULE FOR 0/0

Suppose that in some deleted neighborhood of a real number c, f'(x) and g'(x) exist and g'(x) ≠ 0. Assume that

limx→c f(x) = 0, limx→c g(x) = 0.

If

05_limits_g_approx-91.gif

exists or is infinite, then

05_limits_g_approx-92.gif

(See Figure 5.2.2.)

05_limits_g_approx-94.gif

Figure 5.2.2: L'Hospital's Rule

Usually the limit will be given by

05_limits_g_approx-93.gif

and in this case the proof is very simple.

 

PROOF IN THE CASE

05_limits_g_approx-96.gif

Let Dx be a nonzero infinitesimal. Then f(c) = 0, g(c) = 0, and

05_limits_g_approx-97.gif

Taking standard parts we get

05_limits_g_approx-98.gif

Intuitively, for x ≈ c the graphs of f(x) and g(x) are almost straight lines of slopes f'(c), g'(c) passing through zero, so the graph of f(x)/g(x) is almost the horizontal line through f'(c)/g'(c) (Figure 5.2.3).

05_limits_g_approx-99.gif

Figure 5.2.3

The equation

05_limits_g_approx-100.gif

is not always true. For example, g'(c) might be zero or undefined.

05_limits_g_approx-101.gif

is sometimes another limit of type 0/0, that is,

limx→c f'(x) = 0 and limx→c g'(x) = 0.

When this happens, l'Hospital's Rule can often be reapplied to limx→c f'(x)/g'(x). The proof of l'Hospital's Rule in general is fairly long and uses the Mean Value Theorem. It will not be given here.


-설명은 일종의 아트다. 모두가 이런 설명을 원하지는 않겠지만 이런 설명을 좋아하는 학생도 있다.  



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2009.03.28 18:23

Heron의 공식

예전에 버크민스터 풀러는 유클리드 기하학을 강조한 적이 있다.
학교에서 가르치는 수학은 엉터리라는 것이다.
사실 전문가라는 사람들이 만들어 놓은 커리큘럼을 학생들이 따라하는 것이다.
엉터리라고 볼수는 없어도 머리의 입맛에 맞지 않는 것들을 우겨 넣으며
십수년을 보내면 배우는 일에 대해 확실한 항체를 만들것은 확실하다.

나는 예전에 요즘 좋은 교육을 받지 못한 관계로 기초적인 사고의 재료들이 부실하다.
받았다해도 역시 부실했을 것이라고 생각한다.

그래서 요즘은 몇가지 이유를 더해 하루에 한 아이템씩 수학을 다시 공부하고 있다. 
보는 책중에 학생들이 보는 정석도 있다. 
(확실한 것은 인터페이스 측면에서) 나와 수학정석은 상극이었던 것이다. 

오늘은 헤론의 공식이라는 것을 찾아보다가 많은 것을 생각하게 만드는 예제를 하나 만났다.
별다른 내용은 아니지만 머리가 나쁜 관계로  이런 풀이가 마음에 든다.
앞으로 1달 정도는 틈나는 대로 중학교에서 배웠어야 할 문제들을 봐야 할 것 같다.

매스매티카에 나오는 예제보다는 이런 예제들이 좋지 않은 머리에는 보약이다,
나중에는 매스월드를 더 좋아하게 될지 몰라도 요즘은 아니다.

http://www.gogeometry.com/heron/heron_formula_step_by_step_proof.html

Heron's Formula. Step by Step Proof.

If triangle ABC has sides a, b, c and semiperimeter then area of triangle ABC
 

 

Proof

  1. By propositions #5, and #6: D Incenter and E excenter

  2. By proposition #8: AF=s - a and CF = s - c

  3. By proposition #9: CG = s - b

  4. By proposition #11 Area ABC:

  5. By proposition #12 Area ABC:

  6. By multiplying (4) and (5): 

  7. By propositions #13, #14, #15 (Similarity AA):
    Therefore

  8. Substituting in (6):
    Q.E.D.

매스월드에 나오는 헤론의 정리의 증명 (http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html) 가운데
복잡하지 않은 것은 두가지 정도다.

SoddyCircles

이런 방식으로 soddy cycle이라는 것을 이용한 것과

A much more accessible algebraic proof proceeds from the law of cosines,

 cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc).
(9)

Then

 sinA=(sqrt(-a^4-b^4-c^4+2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2))/(2bc),
(10)

giving

Delta = 1/2bcsinA
(11)
= 1/4sqrt(2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)-(a^4+b^4+c^4))
(12)
= 1/4sqrt((2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2)
(13)
= 1/4sqrt((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))
(14)
= sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))


코사인 정리를 이용한 것이 있다. 그런데 이 코사인 정리를 증명하는 기하학적인 간단한 방법은 만만치 않다.
너무 긴 경로를 돌아온다.  

피타고라스 정리로 중명하는 것도 있으나 아주 원초적인 방법으로 증명하는 것도 재미있다.

그러니 원시적이고 본원적인 처음의  해법에 끌린다.
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